APLICAÇÃO DO MÉTODO COMPLEX PARA A OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS COM BASE QUÍMICA

Evandro Bona¹ (IC); Rui Sérgio dos Santos Ferreira da Silva² (PQ), Dionísio Borsato¹ (PQ) e Renata Paula Herrera¹ (IC).

¹Departamento de Química e ²Departamento de Tecnologia de Alimentos.

Universidade Estadual de Londrina. C.P.6001.CEP 86051-990, Londrina – Pr.

ferau@sercomtel.com.br

Palavras-chave: otimização, complex, simplex supermodificado.

INTRODUÇÃO. A otimização de condições operacionais de variáveis que afetam muitos sistemas químicos, biológicos e alimentares, tem ocupado tempo e esforço de muitos cientistas e tecnólogos. Muitos desses sistemas são influenciados por mais de um fator e os pesquisadores tentam buscar uma combinação de fatores que otimize o sistema ou conduza a uma melhor resposta⁶. Uma modificação da técnica do simplex seqüencial foi proposta por Box² (1965). Chamado de método complex, este utiliza-se de uma figura com um número de vértices maior que (n+1), sendo n número de variáveis.

OBJETIVOS. O trabalho teve como objetivo testar o método complex através da otimização de modelos preditivos gerados pela metodologia de superfície de resposta e, comparar os resultados obtidos com os valores encontrados na literatura.

MÉTODOS. O método de Box foi desenvolvido a partir do método simplex. O simplex no espaço n-dimensional é um hiperpoliédro com faces planas contendo (n+1) vértices. O complex faz uso de uma figura flexível com um número de vértices maior que n+1, sendo recomendado o emprego de 2n vértices². O complex permite o uso de limitações para as variáveis, e pode ser usado para maximizar ou minimizar a função objetivo. Sendo x_i uma variável independente, seu limite inferior será L_i e o limite superior U_i. Os primeiros 2n vértices podem ser determinados segundo as equações descritas por Beveridge & Schechter¹ sendo a função objetivo avaliada em cada vértice. O vértice que possuir o pior valor, para a função, deverá ser substituído por um novo vértice localizado ao longo da linha que une o ponto rejeitado e o centróide dos pontos remanescentes⁴. Sendo d, a distância entre o ponto rejeitado e o centróide, o novo ponto estará a uma distância ad do centróide. A constante a é conhecida como fator de expansão e Box recomenda o uso do a = 1,30. Se o novo ponto não satisfizer os limites explícitos de x_i, será atribuído para esta variável um valor igual ao limite superado¹. Caso o novo vértice, entre todos os vértices do novo poliédro, possuir o pior valor para a função objetivo, ele será substituído por outro vértice localizado na metade da distância entre o novo vértice e o centróide⁴. O programa computacional complex foi desenvolvido em linguagem FORTRAN, utilizando o software Fortran Power Station 4.0. Para testar o método foi utilizado a equação Y₁ que representa a produção de celulase por fermentação³ e Y₂ que representa o rendimento de uma reação química⁵.

RESULTADOS. Os resultados obtidos com o método complex foram comparados com os valores fornecidos pelo método analítico (via derivação) e método simplex. Na otimização simplex foi utilizado o software Simplex Supermodificado com Inicialização Automática (SSM-IA), desenvolvido pelos autores.

Tabela 1: Significado das variáveis.

Tabela 2: Comparação entre os resultados para as variáveis.

Tabela 3: Respostas obtidas para a função objetivo.

CONCLUSÕES. Através da análise dos resultados obtidos pode-se concluir que o método complex é uma ferramenta útil para a otimização. O método pode otimizar com ou sem modelos, não entrando em colapso² como pode acontecer com o método simplex.

BIBLIOGRAFIA

1. BEVERIDGE, G. S. G.; SCHECHTER, R. S. Optimization theory and pratice. Tokyo, Mac Graw-Hill & Sons, New York, 1987.

2. BOX, M. J., A new method of constrained optimization and a comparison with other methods, Comput. J., 8:42 (1965).

3. HAULY, M. C. O.; SILVA, R. S. F. e RAO, C. S. Revista Brasileira de Tecnologia. 11 : 1-11, 1980.

4. HIMMELBLAU, D. M. Applied Nonlinear Programming, McGraw-Hill,1972.

5. MONTGOMERY, D. C. Design and analysis of experiments. New York, J. Wiley, 1976.

6. MORGAN, E.; BURTON, K. W.; NICKLESS, G. Optimization using de super modified simplex method. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, n.8, p. 97-107, 1990.

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